Was ist die Poissonzahl? – Definition, Formel, Materialien und Design

Die Poissonzahl ist eine der wichtigsten Materialeigenschaften und beschreibt die Beziehungen zwischen verschiedenen Dehnungsarten in festen Materialien. Sie wird üblicherweise für Metalle, Kunststoffe, Keramik und andere Werkstoffe verwendet, die in der Technik und Industrie Anwendung finden. Dieser Artikel hilft unseren Kunden zu verstehen, wie die Poissonzahl die Designoptimierung beeinflusst und wie ein bestehendes Design weiter verbessert werden kann, um maximale Effizienz und Leistung aus dem Material herauszuholen.

Was ist die Poissonzahl?

Die Poissonzahl beschreibt den Poisson-Effekt eines Materials während der Ausdehnung oder Kontraktion in eine Richtung und seiner Verformung in senkrechte Richtungen durch entsprechende oder entgegengesetzte Ausdehnung oder Kontraktion.

Warum ist die Poissonzahl wichtig?

Die Poisonzahl ist wichtig für die Konstruktionsplanung, die Deformationsanalyse und die Materialauswahl. Sie ist eine wichtige elastische Eigenschaft im Ingenieurwesen, um das Verhalten eines Materials unter Belastung und seine Verformung in senkrechter Richtung zu verstehen und so Versagen zu verhindern. Sie wird auch im Bauingenieurwesen und Maschinenbau verwendet, um Spannungen zu bestimmen und die Reaktion von Balken, Platten und geologischen Formationen auf Belastungen zu analysieren.  

Definition der Poissonzahl in der Technik

Es hilft, die elastische Verformung des Materials bei einachsiger Belastung zu verstehen. Die Poisonzahl wird für anisotrope Materialien wie Verbundwerkstoffe verwendet. Sie liegt typischerweise zwischen 0 und 0.5 und hilft, die Krümmung senkrecht zur Belastung zu verstehen.

Historie

Thomas Young war 1807 der erste, der den Mechanismus der seitlichen Verformung unter Längsspannung aufzeigte. Dieser wurde später als mathematische Beziehung formalisiert. Er wird noch heute zur Entwicklung neuer und zur Analyse bestehender Materialien verwendet.

Wer hat die Poissonzahl zuerst definiert?

Im Jahr 1828 formulierte Siméon Denis Poisson die Beziehung zwischen der Deformation und der nach ihm benannten Poisonzahl

Poissonzahl in der Technik

In der Technik ist das Giftverhältnis verbunden mit Elastizitätsmodul (E), Schermodul (G) und Kompressionsmodul (K) durch die Gleichungen, die elastische Eigenschaften verbinden.

Beziehung zu anderen elastischen Konstanten

Die Beziehung zwischen der Poisonzahl und anderen Elastizitätskonstanten ist wie folgt:

Elastizitätsmodul und Schubmodul

Die Poisonzahl hängt mit diesen Moduln für isotropes Material zusammen. Die Formel für die Poisonzahl, die sie mit diesen Moduln verbindet, lautet:

E=2G (1+v)

Dabei ist E der Elastizitätsmodul, G der Schermodul und v die Poisonzahl.

Kompressionsmodul und Kompressibilität

Die Poissonzahl hängt mit dem Kompressionsmodul und dem Elastizitätsmodul zusammen. Die Formel für die Poissonzahl mit Kompressionsmodulen und Elastizitätsmodulen lautet:

K=E/3 (1-2v)

Der Kompressionsmodul ist ein Maß für das Verhalten eines Materials bei gleichmäßigem Druck, beispielsweise beim Sinken in einer Flüssigkeit. Die Kompressibilität ist das Gegenteil des Kompressionsmoduls (1/K). Das bedeutet, je höher der Kompressionsmodul, desto geringer die Kompressibilität.

So berechnen Sie die Poissonzahl aus dem Elastizitätsmodul

Wenn die Scherspannung bekannt ist, kann die Poissonzahl aus dem Elastizitätsmodul berechnet werden. Die Formel für die Poissonzahl lautet:

G=E/ (2(1+v))

Durch Umstellen der Formel ergibt sich die Poissonzahl aus dem Elastizitätsmodul:

2G (1+v)=E

1+v=E/ (2G)

v= (E/2G) -1

So berechnen Sie die Poissonzahl aus der Spannungs-Dehnungs-Kurve

Um die Poissonzahl zu berechnen, messen Sie das negative Verhältnis der Querdehnung zur Axialdehnung (oder Längsdehnung) anhand einer Spannungs-Dehnungs-Kurve:

v=-(Querdehnung/Axialdehnung)

So berechnen Sie die Poissonzahl aus dem Zugversuch

Um die Poisonzahl zu messen, berechnen Sie die Längsdehnung entlang der Kraftrichtung und die Querdehnung senkrecht zur Kraft während des Zugversuchs mithilfe der folgenden Formel:

v=-(Querdehnung/Längsdehnung)

So berechnen Sie die Poissonzahl

Die Poissonzahl (v) ist die Verformung des Messmaterials senkrecht zur ausgeübten Kraft.

Laterale vs. axiale Dehnung

Diese Dehnungen treten auf, wenn das Material in eine Richtung belastet wird. Axiale Dehnung (ϵ_l) ist die Verformung, die parallel zur Richtung der ausgeübten Kraft und der seitlichen Dehnung (ϵ) auftritt_t) ist die Verformung, die senkrecht zur ausgeübten Kraft auftritt.

Berechnungsformel der Poissonzahl

Die Formel für das Giftverhältnis lautet:

v= - ϵ_t / ϵ_l

wobei v die Poissonzahl ist, ϵ_t ist die Querdehnung (seitliche Dehnung) und ϵ_l ist die axiale (Längs-)Dehnung. 

Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung

Um die Giftzahl für ein Material zu berechnen, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Messen Sie die Originalmaße, die Länge L₀und der Durchmesser d₀ des Materials.
2. Last aufbringen und neue Maße, neue Länge L berechnen_n und neuer Durchmesser d_n .
3. Messen Sie die axiale Dehnung ϵ_l mit der Formel:

ϵ_l = ΔL / L₀ = (L_n - L₀) / L₀

4. Messen Sie die seitliche Dehnung ϵ_t mit der Formel:

ϵ_t = Δd / d₀ = (gest_n - D₀) / D₀

5. Messen Sie nun das Giftverhältnis mit der Formel

v= - ϵ_t/ϵ_l

Typische Werte der Materialklasse

Jeder Materialtyp weist unterschiedliche Werte für die Giftzahl auf, abhängig vom Verhalten des Materials bei Belastung.

Was ist der kritische Wert der Poissonzahl?

Der kritische Wert der Poisonzahl beträgt bei isotropem Material 0.5. Dieser Wert zeigt an, dass das Material nun inkompressibel ist und sich das Volumen unter Belastung nicht ändert.

Welches Material hat das höchste Giftverhältnis?

Die seitliche Verformung und Inkompressibilität in jedem Material hilft, den Wert des Giftverhältnisses in jedem Material zu bestimmen. Ein hohes Verhältnis bedeutet, dass sich das Material in Querrichtung zusammenzieht

Was ist die Poissonzahl für Stahl?

Die Poissonzahl von Stahl beträgt 0.27-0.30. Dies kann je nach Zusammensetzung und Verarbeitung leicht variieren. Dieser Bereich ist Standard für viele Sorten wie 304, 316 or 416.

Was ist die Poissonzahl von Aluminium?

Die Poissonzahl von Aluminium beträgt 0.31–0.34 und ist damit höher als bei Stahl. Bei anderen Werkstoffen liegt die Poissonzahl beispielsweise bei Aluminium 6061 t6 bei 0.33. Ein höherer Aluminiumwert bedeutet, dass das Material dünner wird, wenn es sich aus einer Richtung ausdehnt, und sich ausbeult, wenn es komprimiert wird.

Welche Werte sind physikalisch nicht möglich

Bei isotropen Materialien muss die Poisonzahl zwischen -1 und 0.5 liegen. Werte größer als 0.5 oder kleiner als -1 sind physikalisch nicht möglich.

Was bedeutet eine Poissonzahl von 0.5?

Ein Wert nahe 0.5 bedeutet, dass das Material nun inkompressibel ist. Dieser Wert gilt für weichere Materialien wie Gummi. Dies ist der Maximalwert für isotropes Material.

So messen Sie die Poissonzahl

Die Poisonzahl wird üblicherweise durch Zugversuche gemessen. Dabei wird eine einachsige Kraft auf das Material ausgeübt, und die resultierende Dehnung in Längs- und Querrichtung misst die Poisonzahl. Die Poisonzahl kann jedoch auch mit vielen anderen Methoden gemessen werden, beispielsweise mit Dehnungsmessstreifen und Extensometern, digitaler Bildkorrelation (DIC) und dynamischen/Ultraschallmethoden. Alle diese Methoden haben unterschiedliche Funktionsprinzipien und Messmethoden.

Dehnungsmessstreifen und Extensometer

Dabei wird eine Belastung auf das Material ausgeübt und ein Dehnungsmessstreifen in Längsrichtung und ein anderer senkrecht zur Belastung platziert. Die Querdehnung wird wie folgt gemessen:

v= - ϵ_trans / ϵ_axial

Um genaue Ergebnisse zu erzielen, sollte diese Messung im elastischen Bereich des Materials durchgeführt werden.

Digitale Bildkorrelation

Das Material, dessen Oberfläche ein zufälliges Fleckenmuster aufweist, wird belastet. Während der Verformung werden Bilder des Materials von einer Kamera aufgenommen. Die DIC-Software vergleicht die Bilder und erstellt ein Diagramm der Dehnung und Verschiebung entlang der Oberfläche. Anschließend wird aus diesen Daten die Poissonzahl berechnet.

Dynamische und Ultraschallmethoden

Die Geschwindigkeit von Ultraschallwellen wird verwendet, um die elastischen Eigenschaften von Materialien, einschließlich der Poissonzahl, zu bestimmen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellen werden in Längs- und Querrichtung gemessen und mit den Elastizitätsmodulen in Beziehung gesetzt. Aus diesen Daten lässt sich dann die Poissonzahl ableiten.

Wie die Poissonzahl das Teileverhalten in der Technik verändert

Die Poissonzahl ist ein Maß für die Verformung eines Materials senkrecht zur einwirkenden Kraft. Sie ist wichtig für Szenarien, in denen sie bestimmt, wie stark sich ein Material unter Druck ausdehnt oder zusammenzieht. Poissonzahlen beeinflussen das Verhalten des Materials unter Belastung. Sie sind ein Schlüsselfaktor bei der Berechnung der Axialspannung, die die Spannungsverteilung im Bauteil beeinflusst.

Presspassungen und Dichtungen

Die Poisonzahl bestimmt die Querausdehnung eines Teils bei axialer Kompression. Eine höhere Poisonzahl bedeutet eine hohe Querausdehnung bei gegebener axialer Kompression. Es ist wichtig, dichte Dichtungen zu schaffen. Die Poisonzahl gibt an, wie sich Material unter Druck verformen kann, ohne beschädigt zu werden. Eine Zahl nahe 0.5 bedeutet, dass sich das Material in großem Umfang verformen kann.

Dünnwandstabilität und Knicken

Normalerweise haben Materialien ein negatives Seitenverhältnis zwischen 0.2 und 0.3, was die seitliche Verformung von Teilen unter Druck stark beeinflusst. Beispielsweise haben Verbundlaminate ein negatives Seitenverhältnis, was die Knickfestigkeit dünnwandiger Strukturen erhöht. Der negative Wert bedeutet hohe Stabilität der Struktur. Andere Faktoren wie die Geometrie beeinflussen ebenfalls das Seitenverhältnis und das Vorhandensein von Löchern oder anderen Merkmalen des dünnwandiges Teil.

Druckbehälter und Rohrspannung

Die Poissonzahl beeinflusst das Spannungs-Dehnungs-Verhalten und die Fähigkeit, Druck in Druckbehältern oder Rohren standzuhalten. Die Umfangsspannung in Druckbehältern ist doppelt so hoch wie die Längsspannung, was die Poissonzahl in beide Richtungen beeinflusst. Rohre hingegen unterliegen aufgrund von Druck- und Temperaturänderungen sowohl Längs- als auch Umfangsspannungen. Die Poissonzahl berechnet die resultierende Verformung in beiden Richtungen in Rohren.

Hauptfaktoren, die die Poissonzahl beeinflussen

Es gibt viele Faktoren, die das Giftverhältnis im Material beeinflussen, wie Temperatur, Belastungsrate, Feuchtigkeitsgehalt und Mikrostruktur/Anisotropie. Ihre Auswirkungen auf das Giftverhältnis werden im Folgenden erläutert.

Temperatureffekte

Höhere Temperaturen verringern die Poissonzahl in vielen Materialien. Dies ist auf die erhöhte Molekülbeweglichkeit und die verringerte Steifigkeit zurückzuführen. Die Wärmeausdehnung beeinflusst auch indirekt die Verformung des Materials unter Belastung und somit die Poissonzahl.

Auswirkungen der Laderate

Hohe Belastungsraten erhöhen die Poissonzahl. Dies liegt an der dynamischeren Natur der Verformung bei Materialien mit viskoelastischen Eigenschaften.

Feuchtigkeitseffekte

Poröse Materialien wie Beton haben einen hohen Feuchtigkeitsgehalt und damit eine höhere Giftstoffkonzentration. Wasser füllt die Poren und macht das Material weich.

Mikrostruktur und Anisotropie

Kornform, -größe und -ausrichtung beeinflussen die mechanischen Eigenschaften und die Poissonzahl des Materials in Abhängigkeit von der Belastungsrichtung in Bezug auf die Mikrostruktur. Bei anisotropen Materialien ist die Poissonzahl aufgrund der Richtung der angewandten Spannung in Bezug auf die kristallografischen Achsen unterschiedlich.

Wenn die Poissonzahl am wichtigsten ist

Die Poissonzahl ist eine wichtige Eigenschaft bei Anwendungen, bei denen die Materialverformung unter Spannung ein großes Problem darstellt.

Auxetische Materialien zur Energieabsorption

Dies sind Materialien mit negativer Poissonzahl. Auxetische Materialien verdicken sich bei Dehnung senkrecht zur Querrichtung. Diese Eigenschaft erhöht ihre Energieabsorptionseigenschaft. Sie können Aufprallenergie über eine größere Fläche absorbieren und ableiten und werden in Verpackungen und biomedizinischen Implantaten verwendet.

Nahezu inkompressible Kautschuke

Eine Poisonzahl von ≈ 0.5 bedeutet, dass das Volumen eines Materials bei Verformung konstant bleibt. Diese Eigenschaft findet sich vor allem bei Elastomeren und Gummi, die nahezu inkompressibel sind. Sie werden hauptsächlich in Dichtungen verwendet, um das Volumen unter Druck zu halten.

Verbundwerkstoffe und geformte Metalle

Bei anisotropen Materialien wie Verbundwerkstoffen oder geformten Metallen ist die Poisonzahl richtungsabhängig. Ihr Wert ändert sich in der Richtung, in der die Spannung ausgeübt wird. Diese Eigenschaft ist wichtig bei der Entwicklung von geschichteten oder verstärkten Materialien, um das Gesamtverhalten des Materials anhand der Ausrichtung zu bestimmen.

Fazit

Die Poissonzahl ist eine mechanische Eigenschaft eines Materials, die das Verhältnis von Querdehnung zu Axialdehnung bei Dehnung oder Stauchung bestimmt. Material wird dünner, wenn es längs gedehnt wird, und dehnt sich seitlich aus, wenn es komprimiert wird. Das bedeutet, dass positive Axialdehnung zu negativer Querdehnung und negative Axialdehnung zu positiver Querdehnung führt. Die Formel für die Poissonzahl hat ein negatives Vorzeichen, was darauf hinweist, dass gängige Materialien eine positive Poissonzahl aufweisen.

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Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet eine Poissonzahl von Null?

Ein Porositätsverhältnis mit dem Wert Null bedeutet, dass das Material sein Volumen nicht ändert, wenn es in Längsrichtung gedehnt oder komprimiert wird.

Was bedeutet eine negative Poissonzahl?

Materialien mit negativer Poissonzahl bedeuten, dass sich das Material in Querrichtung ausdehnt, wenn es in Längsrichtung gedehnt wird, und sich seitlich zusammenzieht, wenn es komprimiert wird.

Was ist die Einheit der Poissonzahl?

Die Giftzahl ist eine dimensionslose Größe. Sie hat also keine Einheit

Ist die Poissonzahl dasselbe wie die Tiefe?

Nein, die Giftzahl ändert sich mit der Tiefe. Sie beschreibt die Reaktion eines Materials auf Belastung, während die Tiefe ein Maß für den physischen Standort ist.